Solutions in H of the steady transport equation in a bounded polygon with a fully non-homogeneous velocity

This article studies the solutions in H1 of a steady transport equation with a divergence-free driving velocity that is W 1,∞, in a two-dimensional bounded polygon. Since the velocity is assumed fully non-homogeneous on the boundary, existence and uniqueness of the solution require a boundary condition on the open part Γ− where the normal component of u is strictly negative. In a previous article, we studied the solutions in L2 of this steady transport equation. The methods, developed in this article, can be extended to prove existence and uniqueness of a solution in H1 with Dirichlet boundary condition on Γ− only in the case where the normal component of u does not vanish at the boundary of Γ−. In the case where the normal component of u vanishes at the boundary of Γ−, under appropriate assumptions, we construct local H1 solutions in the neighborhood of the end-points of Γ−, which allow us to establish existence and uniqueness of the solution in H1 for the transport equation with a Dirichlet boundary condition on Γ−. Résumé Cet article étudie les solutions dans H1 d’une équation de transport stationnaire avec une vitesse de régularité W 1,∞ à divergence nulle, dans un polygone borné. La vitesse étant supposée non nulle sur la frontière, l’existence et l’unicité de la solution requièrent une condition sur la partie de la frontière où la composante normale de la vitesse est strictement négative. Dans un précédent article, nous avons étudié les solutions dans L2 de cette équation de transport stationnaire. Les méthodes, développées dans cet article, peuvent être étendues pour prouver l’existence et l’unicité d’une solution dans H1 avec une condition de Dirichlet sur Γ− seulement dans le cas où la composante normale de u ne s’annulle pas à la frontière de Γ−. Dans le cas où la composante normale de u s’annulle à la frontière de Γ−, sous des hypothèses appropriées, nous construisons des solutions locales au voisinage des points frontières de Γ− de régularité H1, qui nous permettent d’établir l’existence et l’unicité de la solution dans H1 de l’équation de transport avec une condition de Dirichlet sur Γ−.